Pythagore et Thalès : choisir le bon théorème
Pythagore relie les trois longueurs d'un triangle rectangle ; Thalès relie des longueurs dans une configuration de droites parallèles. Le point décisif est de vérifier les hypothèses avant d'écrire une égalité, puis d'associer chaque longueur à son côté homologue.
Mis à jour le 23 août 2026
Définition essentielle
Définition
Dans un triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore donne BC² = AB² + AC², où BC est l'hypoténuse. Dans une configuration où A, M, B sont alignés, A, N, C sont alignés et (MN) est parallèle à (BC), le théorème de Thalès donne AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Ce que le CRPE attend
Le cycle 4 demande de connaître Pythagore et Thalès, ainsi que leurs réciproques et contraposées. Ces outils mobilisent calcul, proportionnalité, racines carrées et raisonnement logique. Au CRPE, une solution complète nomme les hypothèses, écrit l'égalité avec des côtés correctement associés, effectue le calcul puis répond avec l'unité et une précision adaptée.
Les repères à maîtriser
Pythagore : partir de l'angle droit
Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse et porte seul le carré isolé dans l'égalité. Pour calculer un côté de l'angle droit, on soustrait son carré au carré de l'hypoténuse avant de prendre la racine carrée.
Thalès : respecter l'ordre des sommets
Les rapports comparent des côtés homologues dans le même ordre. Une lecture par triangles — petit triangle AMN, grand triangle ABC — donne AM/AB, AN/AC et MN/BC. Mélanger les ordres produit une proportion sans sens géométrique.
Direct, réciproque ou contraposée
Le théorème direct utilise une propriété connue pour calculer ou déduire. La réciproque établit l'angle droit ou le parallélisme à partir d'une égalité vérifiée. La contraposée permet de conclure qu'un triangle n'est pas rectangle ou que des droites ne sont pas parallèles lorsque l'égalité nécessaire échoue.
Garder les valeurs exactes jusqu'à la fin
Une longueur comme √52 peut rester exacte sous la forme 2√13. Si une valeur approchée est demandée, l'arrondi intervient à la dernière étape afin de ne pas propager une erreur dans les calculs suivants.
Exemple corrigé
ABC est rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. M appartient à [AB], AM = 3 cm, N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Calculer BC puis MN.
- 1Dans le triangle ABC rectangle en A, Pythagore donne BC² = AB² + AC².
- 2BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc BC = 10 cm.
- 3Les points A, M, B et A, N, C sont alignés, et (MN) est parallèle à (BC) : Thalès s'applique.
- 4AM/AB = MN/BC, soit 3/6 = MN/10.
- 5MN = 10 × 3/6 = 5 cm.
Réponse : BC mesure 10 cm et MN mesure 5 cm.
Les confusions fréquentes
Écrire AB² = AC² + BC² sans identifier l'hypoténuse.
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit et le plus long du triangle. Ici, si l'angle droit est en A, c'est BC.
Appliquer Thalès parce que deux triangles semblent emboîtés sur le dessin.
Un dessin n'est pas une preuve. Les alignements et le parallélisme doivent être donnés ou démontrés avant d'utiliser le théorème direct.
Utiliser une réciproque avec des rapports pris dans des ordres différents.
Comparer des côtés homologues dans le même ordre et vérifier la disposition des points sur les droites avant de conclure au parallélisme.
Se tester en trois questions
Choisissez mentalement une réponse, puis ouvrez le corrigé.
1.Un triangle a pour côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm. Quelle conclusion est exacte ?Afficher le corrigé
- A. Il est rectangle, car 7² + 24² = 25².
- B. Il est rectangle, car 7 + 24 = 25.
- C. Il n'est pas rectangle, car 25 est impair.
- D. Aucune conclusion n'est possible avec les longueurs.
Pourquoi : 25 est le plus grand côté et 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². La réciproque de Pythagore prouve que le triangle est rectangle.
2.A, M, B sont alignés dans cet ordre, comme A, N, C. On a AM = 4, AB = 10, AN = 6 et AC = 15. Que permet de conclure la réciproque de Thalès ?Afficher le corrigé
- A. (MN) est perpendiculaire à (BC).
- B. (MN) est parallèle à (BC).
- C. Le triangle ABC est rectangle en A.
- D. M est le milieu de [AB].
Pourquoi : AM/AB = 4/10 = 0,4 et AN/AC = 6/15 = 0,4. Avec les alignements dans le même ordre, la réciproque de Thalès donne (MN) parallèle à (BC).
3.Dans un triangle rectangle, les côtés de l'angle droit mesurent 5 cm et 12 cm. Combien mesure l'hypoténuse ?Afficher le corrigé
- A. 7 cm
- B. 13 cm
- C. 17 cm
- D. √17 cm
Pourquoi : Le carré de l'hypoténuse vaut 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Sa longueur vaut donc √169 = 13 cm.
Sources officielles
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